Question

集合M_k（k≥0）是满足下列条件的函数f（x）全体：如果对于任意的x₁，x₂∈（k，+∞），都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）．
（1）函数f（x）=x²是否为集合M的元素，说明理由；
（2）求证：当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x是集合M₁的元素；
（3）对数函数f（x）=lgx∈M_k，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x₁）=2²=4，f（x₂）=3²=9，f（x₁+x₂）=5²=25＞f（x₁）+f（x₂）可判断函数f（x）是否是集合M的元素
（2）要证明当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x是集合M₁的元素，只要证对于任意的x₁，x₂∈（k，+∞），都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），即证f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）＞0
（3）由对数函数f（x）=lgx∈M_k，可得任取x₁，x₂∈（k，+∞），f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）成立，代入整理可得对一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，结合∈（0，），可求k的范围
解答：解：（1）取x₁=2，x₂=3∈（0，+∞），…1分
f（x₁）=2²=4，f（x₂）=3²=9，f（x₁+x₂）=5²=25＞f（x₁）+f（x₂），…1分
∴函数f（x）=x²不是集合M的元素．…1分
（2）证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=…1分
=，…1分
∵0＜a＜1，x₁＞1，根据指数函数的性质，得，∴，
同理，，∴，∴．
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），∴函数f（x）=a^x是集合M₁的元素．…2分
（3）∵对数函数f（x）=lgx∈M_k，∴任取x₁，x₂∈（k，+∞），f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）成立，
即lgx₁+lgx₂=lg（x₁•x₂）＞lg（x₁+x₂）成立，
∴x₁•x₂＞x₁+x₂对一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，…1分
∴对一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，
∵x₁，x₂∈（k，+∞），∴∈（0，），
∴≤1，∴k≥2．…2分．
点评：本题以新定义为载体主要考查了阅读新知识并转化为解题的工具，指数函数的函数值、对数函数的函数值的综合应用．