Question

已知函数f(x)=1-(-5≤x≤0),点(-2,-4)在它的反函数的图象上.

(1)求f^-1(x);

(2)判定f^-1(x)的单调性,并用定义证明.

Answer 1

解:(1)∵(-2,-4)在反函数图象上,

∴(-4,-2)在原函数图象上,则有-2=1-,得a=-1.

∴f(x)=1-.

∵-5≤x≤0,∴f(x)∈［-4,1］.

由y=1-解得x²=-(y-1)²+25.

又-5≤x≤0,

∴x=-.交换x、y得f^-1(x)=-  (-4≤x≤1).

(2)f^-1(x)的单调区间为［-4,1］,任取x₁、x₂∈［-4,1］,设x₁＜x₂,

则f^-1(x₁)-f^-1(x₂)=

∵-4≤x₁＜x₂≤1,

∴x₁-x₂＜0,x₁+x₂-2＜0.

∴f^-1(x₁)-f^-1(x₂)＞0,即f^-1(x₁)＞f^-1(x₂).

∴f^-1(x)在［-4,1］上递减.

说明:在以上证明中,进行了分子有理化,然后判断f^-1(x₁)-f^-1(x₂)的符号,这种思想在解题中常用.