Question

已知函数f（x）=3^-x，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，正项数列b_n的首项为c，且前n项和S_n满足Sn-

Sn

=Sn-1+

Sn-1

，(n≥2)
（1）求c，并求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{bn(1-

1

2

an)}的前n项和为T_n．

Answer 1

（1）∵等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，
∴a₁=f（1）-c=

1

3

-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

又数列{a_n}成等比数列，
a1=

a 22

a3

=-

2

3

，
∵a₁=

1

3

-c
∴-

2

3

=

1

3

-c，∴c=1
又公比q=

a2

a1

=

1

3

所以a_n=-

2

3

•(

1

3

)n-1，n∈N；
∵S_n-S_n-1=(

Sn-Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1适合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（2）由（1）知bn(1-

1

2

an)=（2n-1）+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ
设（2n-1）•（

1

3

）ⁿ前n项和为Q_n   设数列2n-1的前n项和为S_n
Q_n=

1

3

+3×（

1

3

）²+5×（

1

3

）³+…+（2n-3）•（

1

3

）^n-1+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ     ①

1

3

Q_n=（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+5×（

1

3

）⁴+…+（2n-3）•（

1

3

）ⁿ+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹  ②
①-②得：

2

3

QN=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+(

1

3

)4++(

1

3

)n]-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-(2n+2)(

1

3

)n+1
∴Q_n=1-（n+1）（

1

3

）ⁿ
∴S_n=n²
∴T_n=S_n⁺Q_n=n²+1-（n+1）（

1

3

^）n