Question

【题目】已知函数

（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;

（2）若在处有极值10，求的值;

（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）m≥－（2）（3）m∈[－1 ，1]

【解析】分析：(1) 由在区间上是单调递增函数得，

当 时， 恒成立，由此可求实数的取值范围;

（2），由题或，判断当时，，无极值，舍去，则可求；

（3）对任意的，有恒成立，即在上最大值与最小值差的绝对值小于等于2．求出原函数的导函数，分类求出函数在的最值，则答案可求；

详解：

(1) 由在区间上是单调递增函数得，

当 时， 恒成立，即 恒成立，

解得

（2），由题或

当时，，无极值，舍去.

所以

（3）由对任意的x1，x2∈[－1，1]，有| f(x1)－f(x2)|≤2恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤2．

且| f(1)－f(0)|≤2，| f(－1)－f(0)|≤2，解得m∈[－1，1]，

①当m=0时，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上单调递增，

fmax(x)－fmin(x)= | f(1)－f(－1)|≤2成立．

②当m∈(0，1]时，令f＇(x)＜0，得x∈(－m，0)，则f(x)在(－m，0)上单调递减；

同理f(x)在(－1，－ m)，(0，1)上单调递增，

f(－m)= m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小，

令h(m)=f(－m)－f(1)= m3－m－1，m∈[0，1]，

h＇(m)= m2－1＜0，则h(m)在(0，1] 上为减函数，h(m)≤h(0)=－1＜0，

故f(－m)＜f(1)，又f(－1)= m－1+m2≤m2=f(0)，仅当m=1时取等号.

所以fmax(x)－fmin(x)= f(1)－f(－1)=2成立．

③同理当m∈[－1 ，0)时，fmax(x)－fmin(x)= f(1)－f(－1)=2成立．

综上得m∈[－1 ，1]．