Question

解关于x的不等式x²-(a+a²)x+a³＞0(a∈R).

Answer 1

思路分析:原不等式可变形为(x-a)(x-a²)＞0,故需比较(x-a)·(x-a²)=0的两根a与a²的大小,从而确定对a进行分类的标准.

解:原不等式可变形为(x-a)(x-a²)＞0,?

则方程(x-a)(x-a²)=0的两个根为x₁=a,x₂=a².?

当a＜0时,有a＜a²,∴x＜a或x＞a²,?

此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a²};?

当0＜a＜1时,有a＞a²,∴x＜a²或x＞a,?

此时原不等式的解集为{x|x＜a²或x＞a};?

当a＞1时,有a²＞a,∴x＜a或x＞a²,?

此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a²};?

当a=0时,有x≠0,?

∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};?

当a=1时,有x≠1,?

此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}.?

综上,可知当a＜0或a＞1时,?

原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a²};?

当0＜a＜1时,原不等式的解集为{x|x＜a²或x＞a};?

当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};?

当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.

温馨提示

含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易因式分解,则可对判别式分类讨论,分类要不重不漏.