Question

△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（

3

-1）c．
（1）求角A的大小；
（2）已知当x∈[

π

6

，

π

2

]时，函数f（x）=cos2x+asinx的最大值为3，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）因为B=60°，所以A+C=120°，C=120°-A
∵a=（

3

-1）c，由正弦定理可得：sinA=（

3

-1）sinC
sinA=（

3

-1）sin（120°-A）=（

3

-1）（sin120°cosA-cos120°sinA）
=（

3

-1）（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
整理得，tanA=1
∴A=45°．
（2）f（x）=1-2sin²x+asinx，令t=sinx，
∵x∈[

π

6

，

π

2

]，
∴t∈[

1

2

，1]
f（x）=g（t）=-2t²+at+1=-2（t-

a

4

）²+

a2

8

+1，t∈[

1

2

，1]
若

a

4

＜

1

2

，即a＜2
f_max=g（

1

2

）=

1

2

a+

1

2

=3，，故a=5（舍去）
若

1

2

≤

a

4

≤1即2≤a≤4，
f_max=g（

a

4

）=

a2

8

+1=3，得a=3
若

a

4

＞1，即a＞4，
f_max=g（

1

2

）=1-2+a=a-1=3，得a=4（舍去）
故a=4，S_△ABC=6+2

3

．