Question

若函数f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则称[a，b]为f（x）的保值区间．那么f(x)=

1

2

(x-1)2+1的保值区间是

 

．

Answer 1

分析：设函数的定义域为[a，b]，函数的对称轴x=1，若值域是[a，b]，考虑对称轴与函数的定义域的区间位置，故需分类讨论：①当b≤1时，函数在[a，b]上单调递减，②当a≥1时，函数在[a，b]上单调递增，③当a＜1＜b时，函数在[a，b]上先减后增，若值域是[a，b]，分别进行求解

解答：解：设函数的定义域为[a，b]，函数的对称轴x=1
当b≤1时，函数在[a，b]上单调递减，若值域是[a，b]，则

f(a)=b f(b)=a

?

1 2 a2 + 3 2 - a=b 1 2 b2 -b+ 3 2 =a

此时a，b无解
当a≥1时，函数在[a，b]上单调递增，若值域是[a，b]，则

f(a)=a f(b)=b

?

1 2 a2-a+ 3 2 =a 1 2 b2-b+ 3 2 =b

此时a=1，b=3
，函数在[a，b]上先减后增，若值域是[a，b]，而此时函数的最小值为1，则有a=1（舍）
综上可得a=1，b=3
故答案为：[1，3]

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，此类问题要注意所考查的函数的定义域与对称轴的位置情况．若位置特征不明确时，需要分情况讨论，而不要错误的认为在对称轴处取得函数的最值．