Question

已知圆O：x²+y²=4与直线l：y=x+b，在x轴上有点P（3，0），
（1）当实数b变化时，讨论圆O上到直线l的距离为2的点的个数；
（2）若圆O与直线l交于不同的两点A，B，且

PA

•

PB

=9，求b的值．

Answer 1

分析：（I）根据题意，题中的圆以原点为圆心、半径r=2，由点到直线的距离公式算出原点到l的距离d=

2

2

|b|．由圆的性质可得：当d=4时圆上存在唯一的满足条件的点；d＞4时圆上不存在满足条件的点，d＜4时圆上存在两个满足条件的点．由此建立关于b的不等式，解出相应的b的范围，可得答案．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

PA

•

PB

=9利用向量数量积的公式，算出x₁x₂-3（x₁+x₂）+y₁y₂=0．
将直线l方程与圆O方程联解得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理算出x₁+x₂与x₁x₂关于b的式子，从而得到y₁y₂关于b的式子，代入前面的等式得到关于b的方程，解之即可得到实数b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵圆O：x²+y²=4的圆心为O（0，0）、半径r=2，
直线l：y=x+b即x-y+b=0，
∴圆心到直线l的距离为d=

|0-0-b|

2

=

2

2

|b|，可得
①当圆心到直线l的距离大于4时，圆上距离直线l距离最近的点到l的距离大于2，
此时圆O上不存在到直线l的距离为2的点，此时d=

2

2

|b|＞4，解得|b|＞4

2

；
②当圆心到直线l的距离等于4时，圆上距离直线l距离最近的点到l的距离等于2，此时圆O上存在唯一的点到直线l的距离为2，此时d=

2

2

|b|=4，解得|b|=4

2

；
③当圆心到直线l的距离小4时，圆上距离直线l距离最近的点到l的距离小于2，
此时圆O上存在两个点到直线l的距离为2，此时d=

2

2

|b|＜4，解之得|b|＜4

2

．
综上所述，当b＜-4

2

或b＞4

2

时，圆上存在0个点到直线l的距离等于2；当b=±4

2

时，
圆上存在1个点到直线l的距离等于2；当-4

2

＜b＜4

2

时，圆上存在2个点到直线l的距离等于2．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得

PA

=（x₁-3，y₁），

PB

=（x₂-3，y₂）
∵

PA

•

PB

=9，∴（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=9，化简得x₁x₂-3（x₁+x₂）+y₁y₂=0．
由

y=x+b x2+y2=4

联解可得2x²+2bx+b²-4=0，则

△=32-4b2＞0 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

，即

b2＜8 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

∴y1y2=(x1+b)(x2+b)=

b2

2

-2，
化简得b²+3b-4=0，即（b+4）（b-1）=0，解之得b=-4或b=1，
由于b²＜8，可得b=1．

点评：本题着重考查了向量的数量积公式、点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．