题目内容

已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是
a≤-3
a≤-3
．
分析：求出f′（x），由题意f′（x）≤0在R上恒成立，利用二次函数的性质求出a的取值范围即可得到满足题意的a范围．
解答：解：∵f′（x）=3ax2+6x-1，由题意f′（x）≤0在R上恒成立．
则
a＜0
△≤0
，
即
a＜0
36-4×3a×(-1)≤0

于是a≤-3．
故答案为：a≤-3．
点评：此题要求学生会利用导函数的正负研究函数的单调性，是一道中档题．函数f（x）是R上的单调递减函数，则f′（x）≤0，易错误地求解成f′（x）＜0．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）当a∈[-2，
1
4
)时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2009•海淀区二模）已知函数f（x）=a-2x的图象过原点，则不等式f(x)＞
34
的解集为
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．
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2x
)＞3．
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已知函数f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定义函数F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 给出下列命题：①F（x）=|f（x）|； ②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是
 
．

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