题目内容

函数f（x）=ax3-3x2+x-1有极值的充要条件是（　　）
分析：若a≠0，三次函数f（x）=ax3-3x2+x-1有极值，f′（x）=0有不相等的两个解，利用判别式即可求得结论，若a=0，函数为二次函数可知有极值．
解答：解：求导函数f′（x）=3ax2-6x+1
若a≠0，三次函数f（x）有极值，则f′（x）=0有不相等的两个解，
∴△=36-12a＞0，∴a＜3
若a=0，导函数f′（x）=3ax2-6x+1=-6x+1
令f′（x）＞0，则x＜
1
6
；令f′（x）＜0，则x＞
1
6
；
∴函数在x=
1
6
处取得极大值
故选C
点评：本题主要考查了函数的导数与极值的关系，以及充要条件的判断，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′(
π12
)=1；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!．
④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是
 
．
18、已知函数f（x）=ax3-6ax2+b（x∈[-1，2]）的最大值为3，最小值为-29，求a、b的值．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
 
；
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 
．
若函数f（x）=ax3-2x2+a2x在x=1处有极小值，则实数a等于
1
1
．
已知下表为函数f（x）=ax3+cx+d部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01．
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
y 0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
根据表中数据，研究该函数的一些性质：
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零点，并说明理由．

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