Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（1）求证：AC⊥BB₁；
（2）若P是棱B₁C₁的中点，求平面PAB将三棱柱分成的两部分体积之比．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性质证明AC⊥平面ABB₁A₁，可得AC⊥BB₁；
（2）设平面PAB∩A₁C₁=Q，根据P是棱B₁C₁的中点，可得Q是棱A₁C₁的中点，利用棱台的体积公式计算VPQC1-ABC，即可得出结论．

解答：（1）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，A₁B?平面ABB₁A₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∵平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，AB⊥AC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴AC⊥BB₁；
（2）解：设平面PAB∩A₁C₁=Q，
∵P是棱B₁C₁的中点，
∴Q是棱A₁C₁的中点，
连接AQ，PQ，则设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积为S，高为h，体积为V，则V=Sh，
∴VPQC1-ABC=

1

3

（

1

4

S+

S• 1 4 S

+S）•h=

7

12

Sh=

7

12

V，
∴VAB-A1B1PQ=V-

7

12

V=

5

12

V，
∴VPQC1-ABC：VAB-A1B1PQ=7：5．

点评：本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质，考查体积计算，考查学生分析解决问题的能力，掌握面面垂直的性质，线面垂直的性质是关键．