Question

已知命题P：函数f（x）=log_2m（x+1）是增函数，命题Q：?x∈R，x²+mx+1≥0，如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据对数函数的单调性求得命题P为真时m的取值范围；利用△≤0求出命题Q为真时m的范围，根据复合命题真值表知，若“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，则命题P、Q中有且仅有一个真命题，分P真Q假和Q真P假两种情况求出m的范围，再求并集．

解答：解：由函数f（x）=log_2m（x+1）是增函数，得2m＞1，
故命题P为真时，m＞

1

2

，
命题Q为真命题时，则△=m²-4≤0⇒-2≤m≤2，
由复合命题真值表知：若“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，则命题P、Q中有且仅有一个真命题，
当P真Q假时，则

m＞ 1 2 m＞2或m＜-2

⇒m＞2，
当Q真P假时，则

m≤ 1 2 -2≤m≤2

⇒-2≤m≤

1

2

，
综上可知实数m的取值范围：[-2，

1

2

]∪（2，+∞）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了对数函数的单调性及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时m的取值范围．