Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=PA=2，PD=2

2

，PB=

7

．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅲ）设二面角P-BD-A的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）由底面ABCD是矩形，知AD⊥AB，由AD=PA=2，PD=2

2

，知AD⊥PA，由此能证明AD⊥平面PAB．
（2）由AB=3，PA=2，PB=

7

，过点P作PH垂直AB交AB于点H，PH⊥平面ABCD，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（3）过点H作AM⊥BD，交BD于M，连接PM，则∠HMP就是θ，由此能求出cosθ．

解答：解：（1）∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
∵AD=PA=2，PD=2

2

，∴AD⊥PA，
∵AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB．
（2）∵AB=3，PA=2，PB=

7

，过点P作PH垂直AB交AB于点H
∴PH⊥平面ABCD，利用面积法可求出PH=

3

∴四棱锥P-ABCD的体积
V=

1

3

×S四边形ABCD×PH
=

1

3

×3×2×

3

=2

3

．
（3）过点H作AM⊥BD，交BD于M，连接PM，
则∠HMP就是θ．
∵BH=2，

HM

2

=

2

13

，
∴HM=

4

13

，
∴PM=

3+ 16 13

=

55

13

，
∴cosθ=cos∠HMP=

4 13

55 13

=

4 55

55

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．