Question

以椭圆两焦点为直径的端点的圆交椭圆与4个不同点，顺次连接4个交点和2个焦点恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：设椭圆的两个焦点为F₁，F₂，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F₁F₂|=2c，则|DF₁|=c，|DF₂|=

3

c．由椭圆的定义知2a=||DF₁|+|DF₂|=

3

c+c，根据离心率公式求得答案．

解答：解：设椭圆的两个焦点为F₁，F₂，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，
设|F₁F₂|=2c，则|DF₁|=c，|DF₂|=

3

c．
椭圆定义，得2a=||DF₁|+|DF₂|=

3

c+c，
所以e=

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1，
故答案为

3

- 1．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．