Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinBbcosA+a＝bcosC+ccosB．

（1）求A；

（2）若a，点D在BC上，且AD⊥AC，当△ABC的周长取得最大值时，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）利用正弦定理边化角后化简可得，进而求得，即可得解；

（2）利用余弦定理可得3=(b+c)2bc，进而利用基本不等式可知b+c≤2，由此得出此时△ABC的周长取得最大值，，进而求得BD的长，即可得解.

（1）∵，

∴，

∴，

∴，

∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，

∴，

又A∈(0，π)，∴；

（2）由（1）及，知3=b2+c2+bc，

∴3=(b+c)2bc，从而，

∴b+c≤2，当且仅当b=c=1时取等号，即△ABC的周长取得最大值，此时，

∵AD⊥AC，∴，

又b=1，∴，

∴．