Question

数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，已知a₃=7，S₄=24
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和公式；
（2）若p，q为正整数，试比较Sp+q和

1

2

(S2p+S2q)的大小．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式化简a₃=7，S₄=24，分别得到关于首项和公差的两个方程，联立即可求出首项和公差的值，利用首项和公差写出等差数列的通项公式及前n项和的公式即可；
（2）分别利用求得等差数列的前n项和的公式表示出S_p+q和S_2p及S_2q，然后利用做差法即可比较出S_p+q和

1

2

(S2p+S2q)的大小．

解答：解：（1）由

a3=7 S4=24

得

a1+2d=7 4a1+6d=24

所以

a1=3 d=2

，则a_n=2n+1，S_n=n²+2n；
（2）2S_p+q-（S_2p+S_2q）=2（p+q）²+4（p+q）-4p²-4p-4q²-4q
=-2（p-q）²≤0
所以Sp+q≤

1

2

(S2p+S2q)．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，会利用做差法比较两个式子的大小，是一道中档题．