Question

19、已知数列{a_n}和{b_n}中，数列{a_n}的前n项和记为S_n．若点（n，S_n）在函数y=-x²+4x
的图象上，点（n，b_n）在函数y=2^x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前-1＜x＜1项和f（x）=15．

Answer 1

分析：（1）先根据题设知S_n=-n²+4n，再利用a_n=S_n-S_n-1求得a_n，验证a₁是符合，最后答案可得．
（2）由题设可知b_n=2ⁿ，把a_n一同代入a_nb_n然后用错位相减法求和．

解答：解：（1）由已知得S_n=-n²+4n
∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+5
又当n=1是，a₁=S₁=3，
∴a_n=-2n+5
（2）由已知得b_n=2ⁿ，
∴a_nb_n=（-2n+5）2ⁿ，
∴T_n=3×2+1×4+（-1）×8…+（-2n+5）2ⁿ，
2T_n=3×4+1×8+（-1）×16…+（-2n+5）2ⁿ⁺¹，
两式相减得T_n=-6+（2³+2⁴+…+2^n-1）+（2n+5）^n-1=（-2n+7）2ⁿ⁺¹-14

点评：本题主要考查了数列的递推式解决数列的通项公式和求和问题．