Question

11．已知函数f（x）=sin（x+θ）+$\sqrt{3}$cos（x+θ），
（1）若θ=0，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的图象关于原点对称，且θ∈（0，π），求θ的值．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$2sin（x+θ+\frac{π}{3}）$，（1）当θ=0时，$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，由x的范围和三角函数的性质可得f（x）的值域；
（2）要满足题意只需$sin（θ+\frac{π}{3}）=0$，结合θ∈（0，π）可得．

解答 解：化简可得$f（x）=sin（x+θ）+\sqrt{3}cos（x+θ）$=$2sin（x+θ+\frac{π}{3}）$
（1）当θ=0时，$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，
∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，∴$x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
∴由正弦函数的单调性知$-\frac{1}{2}≤sin（x+\frac{π}{3}）≤1$，
∴f（x）的值域为[-1，2]；
（2）若f（x）的图象关于原点对称，
则只需将f（x）的图象做适当平移，使得其过原点即可．
∴$sin（θ+\frac{π}{3}）=0$，又θ∈（0，π），则$θ=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．