Question

已知双曲线与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A,B两点,若P为AB的中点.

(1)求直线AB的方程;

(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.

Answer 1

（1）解：设过点P(1,2)的直线AB的方程为y-2=k(x-1),?

代入双曲线方程并整理得(2-k²)x²+(2k²-4k)x-(k²-4k+6)=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则有x₁+x₂=.?

由已知,

∴,解得k=1.

又k=1时,Δ=(2k²-4k)²+4(2-k²)(k²-4k+6)=16>0,从而直线AB的方程为x-y+1=0.

(2)证明:设过Q(1,1)点的直线方程为y-1=k(x-1),?

代入双曲线方程并整理,得(2-k²)x²-2k(1-k)x-(k²-2k+3)=0.

由题知,解得k=2.

而当k=2时,Δ=［-2k(1-k)］²+4(2-k²)(k²-2k+3)=-62<0.

∴这样的直线不存在.