Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=x²+a(a为常数)，直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.

(1)求直线l的方程和a的值；

(2)求函数y=f(1+x²)-g(x)的最大值.

Answer 1

解：（1）因为直线l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1，则此切点为P（1，0），

所以切线l的斜率k=1,于是切线l的方程为y=x-1.

又g′(x)=x，所以切线l在函数g(x)= x²+a上的切点也为P（1，0），从而a=-.

（2）y=f(1+x²)-g(x)=ln(1+x²)-x²+,

令x²=t≥0，则y=h(t)=ln(1+t)-t+,

从而h′(t)=

由h′(t)=＞0得0＜t＜1，所以函数h(t)在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数，则h（t) max=h(1)=ln2,

即当x=1或x=-1时，y=f(1+x²)-g(x)有最大值ln2.