Question

设数列{a_n}为等差数列，S_n为{a_n}的前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75．
（1）求首项a₁和公差d；
（2）T_n为数列{

Sn

n

}的前n项的和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的前n项和公式Sn=na1+

n(n-1)

2

d再结合条件S₇=7，S₁₅=75可得

7a1+21d=7 15a1+105d=75

进而可求出首项a₁和公差d．
（2）由（1）可求出

Sn

n

=a1+

1

2

(n-1)d=

1

2

n-

5

2

则根据通项公式可得出数列{

Sn

n

}是以-2为首项，

1

2

为公差的等差数列然后根据等差数列的前n项和公式即可求出T_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则Sn=na1+

n(n-1)

2

d
∵S₇=7，S₁₅=75
∴

7a1+21d=7 15a1+105d=75

∴a₁=-2，d=1…．（7分）
（2）由（1）可得

Sn

n

=a1+

1

2

(n-1)d=

1

2

n-

5

2

…．（9分）
∵

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

…．（11分）
∴数列{

Sn

n

}是以-2为首项，

1

2

为公差的等差数列
∴Tn=

1

4

n2-

9

4

n．…（13分）

点评：本题主要考查了等差数列的前n 项和的求解，属常考题，较难．解题的关键是求出首项a₁和公差d以及熟记差数列的前n项和公式Sn=na1+

n(n-1)

2

d!