Question

已知函数f(x)=(

1

2

)|x+m|+a，且f（x）为偶函数．
（1）求m的值；
（2）若方程f（x）=0有两个实数解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=(

1

2

)|x+m|+a为偶函数，f（-x）=f（x）恒成立，令x=1，则f（-1）=f（1），由此得到关于m的方程，解方程可得m的值；
（2）若方程f（x）=0有两个实数解，则函数y=-a与y=(

1

2

)|x|有两个交点，画出函数图象，数形结合，可判断出a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=(

1

2

)|x+m|+a为偶函数
∴f（-1）=f（1）
即(

1

2

)|1+m|=(

1

2

)|-1+m|
∴|m+1|=|m-1|
∴m+1=m-1（舍去），或m+1=1-m
∴m=0
（2）由（1）得函数f(x)=(

1

2

)|x|+a，
函数y=(

1

2

)|x|的图象如下图所示：

由图可知：
当-1＜a＜0，即0＜a＜1时，
y=-a与y=(

1

2

)|x|有两个交点
∴-1＜a＜0

点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，函数的奇偶性的定义，是函数图象和性质的综合应用，难度不大．