Question

已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

16

]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx，
∴f（x）=sinωxcosωx+

1+cos2ωx

2

=

1

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

由于ω＞0，依题意得

2π

2ω

=π，
所以ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∴g（x）=f（2x）=

2

2

sin（4x+

π

4

）+

1

2

∵0≤x≤

π

16

时，

π

4

≤4x+

π

4

≤

π

2

，
∴

2

2

≤sin（4x+

π

4

）≤1，
∴1≤g（x）≤

1+ 2

2

，
g（x）在此区间内的最小值为1．