题目内容

关于函数y=f（x），有下列命题：
①若a∈[-2，2]，则函数f(x)=
x2+ax+1
的定义域为R；
②若f(x)=log
1
2
(x2-3x+2)，则f（x）的单调增区间为(-∞，
3
2
)；
③若f(x)=
1
x2-x-2
，则值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
④定义在R上的函数f（x），若对任意的x∈R都有f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），则4是y=f（x）的一个周期；
⑤已知a＞0，b＞0，则
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4．     
其中真命题的编号是
①④⑤
①④⑤
．
分析：①f(x)=
x2+ax+1
的定义域为{x|x2+ax+1≥0}，设t=x2+ax+1，当a∈[-2，2]时，△=a2-4≤0，故函数f(x)=
x2+ax+1
的定义域为R；②f(x)=log
1
2
(x2-3x+2)的定义域是{x|x2-3x+2＞0}，
即{x|x＜1，或x＞2}，对称轴是x=
3
2
，故f（x）的单调增区间是（-∞，1）；③设y=f(x)=
1
x2-x-2
，则yx2-yx-2y-1=0，由此得到f(x)=
1
x2-x-2
的值域是{y|y＞0，或y≤-
1
3
}；④定义在R上的函数f（x），
若对任意的x∈R都有f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），则f（x+4）=f（1-x-3）=f（-x-2）=-f（x+2）=-f（1-x-1）=-f（-x）=f（x），故4是y=f（x）的一个周期；⑤由a＞0，b＞0，知
1
a
+
1
b
+2
ab
≥2
1
ab
+2
ab
≥2
2
1
ab
•2
ab
=4．
解答：解：①f(x)=
x2+ax+1
的定义域为{x|x2+ax+1≥0}，
设t=x2+ax+1，当a∈[-2，2]时，△=a2-4≤0，
∴x2+ax+1≥0的解集是R，故函数f(x)=
x2+ax+1
的定义域为R，故①正确；
②f(x)=log
1
2
(x2-3x+2)的定义域是{x|x2-3x+2＞0}，
即{x|x＜1，或x＞2}，对称轴是x=
3
2
，
∴f（x）的单调增区间是（-∞，1），故②不正确；
③设y=f(x)=
1
x2-x-2
，则yx2-yx-2y-1=0，
当y≠0时，△=y2+8y2+4y≥0，
解得y＞0，或y≤-
1
3
，
当y=0时，f(x)=
1
x2-x-2
=0，不成立，
∴f(x)=
1
x2-x-2
的值域是{y|y＞0，或y≤-
1
3
}，故③不成立；
④定义在R上的函数f（x），
若对任意的x∈R都有f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），
则f（x+4）=f（1-x-3）=f（-x-2）=-f（x+2）=-f（1-x-1）=-f（-x）=f（x），
∴4是y=f（x）的一个周期，故④正确；
⑤∵a＞0，b＞0，∴
1
a
+
1
b
+2
ab
≥2
1
ab
+2
ab
≥2
2
1
ab
•2
ab
=4，
∴
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4，故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
点评：本题考查命题的真假的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意函数的定义域、单调性、值域和周期性的合理运用．
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a(a≥b)
b(a＜b)
若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值-2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示  则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（　　）
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B、y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（-1）
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①若a∈[-2，2]，则函数f（x）=
x2+ax+1
的定义域为R；
②若f（x）=log
1
2
（x2-3x+2），则f（x）的单调增区间为（-∞，
3
2
）；
③函数f(x)=loga(x+
a
x
-4)(a＞0且a≠1)的值域为R，则实数a 的取值范围是0＜a≤4且a≠1；
④定义在R上的函数f（x），若对任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x） 则4是y=f（x）的一个周期．
其中真命题的序号是
①③④
①③④
．
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a(a≥b)
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1
3
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