Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足cn=abn，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，数列{c_n}中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，a₁=S₁=1亦满足上式，
故a_n=2n-1，（n∈N*）．       
又数列{b_n}为等比数列，设公比为q，
∵b₁=1，b₄=b₁q³=8，∴q=2．
∴b_n=2^n-1（n∈N*）．                      
（2）cn=abn=2bn-1=2n-1．
T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+…2ⁿ）-n=

2(1-2n)

1-2

-n．
所以 T_n=2ⁿ⁺¹-2-n．                               
（3）假设数列{c_n}中存在三项c_m，c_k，c_l成等差数列，不妨设m＜k＜l（m，k，l∈N*）
因为 c_n=2ⁿ-1，
所以 c_m＜c_k＜c_l，且三者成等差数列．
所以 2c_k=c_l+c_m，
即2（2^k-1）=（2^m-1）+（2^l-1），
变形可得：2•2^k=2^m+2^l=2^m（1+2^l-m）
所以 

2k+1

2m

=1+2l-m，即2^k+1-m=1+2^l-m．
所以 2^k+1-m-2^l-m=1．
因为m＜k＜l（m，k，l∈N*），
所以 2^k+1-m，2^l-m均为偶数，而1为奇数，
所以等式不成立．
所以数列{c_n}中不存在三项，使得这三项成等差数列．