题目内容
已知函数f(x)=
(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间．
| lnx+k | ex |
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间．
分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；
（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．
（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．
解答：解：（1）因为函数f(x)=
，所以f′(x)=
=
，
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
所以f′（1）=0，即
=0，解得k=1；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f′(x)=
，
令g（x）=
-lnx-1，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，
所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．
故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
| lnx+k |
| ex |
| (lnx+k)′•ex-(lnx+k)•ex |
| e2x |
| ||
| e2x |
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
所以f′（1）=0，即
| e-e•ln1-ke |
| e2 |
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f′(x)=
(
| ||
| e2x |
令g（x）=
| 1 |
| x |
所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．
故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．
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