Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n(2n-1)(n∈N^*).

(1)(理16(1))证明数列{a_n}为等差数列;

(文17(1))求数列{a_n}的通项公式,并证明该数列为等差数列;

(2)(理16(2)文17(2))设数列{b_n}满足b_n=S₁+(n∈N^*),试判定:是否存在自然数n,使得b_n=900,若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

答案：(1)(理16(1))证明:当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=n(2n-1)-(n-1)(2n-3)=4n-3,

当n=1时,a₁=S₁=1,适合.∴a_n=4n-3.2分

∵a_n-a_n-1=4(n≥2),∴{a_n}为等差数列.

(文17(1))解:当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=n(2n-1)-(n-1)(2n-3)=4n-3,

当n=1时,a₁=S₁=1,适合,∴a_n=4n-3.2分

而a_n-a_n-1=4(n≥2),∴{a_n}为等差数列.

(2)(理16(2)文17(2))解:∵=2n-1,

∴b_n=S₁+=1+3+5+7+…+(2n-1)=n².

由n²=900,得n=30,即存在满足条件的自然数,且n为30.