Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a，b，c成等比数列．
（1）求椭圆的离心率e的值．
（2）若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，求证：∠F₁AB=90°．

Answer 1

分析：（1）由题设b²=ac及b²=a²-c²，由此能求出椭圆的离心率e的值．
（2）由题设A（0，b），B（a，0），又F₁（-c，0），得

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，于是

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，故∠F₁AB=90°．

解答：（1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
其左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
且a，b，c成等比数列．
∴b²=ac及b²=a²-c²，
∴ac=a²-c²，
∴e=1-e²，
解得e=

5 -1

2

，e=

-1- 5

2

（舍），
∴e=

5 -1

2

．
（2）证明：∵椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，
∴A（0，b），B（a，0），
∵F₁（-c，0），
∴

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，
∴

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，
故∠F₁AB=90°．

点评：本题考查数列与解析几何的综合，具体涉及到椭圆离心率的求法和证明∠F₁AB=90°．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．