Question

设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于两点A、B且OA⊥OB（O为原点）．
（1）求此双曲线的标准方程； 
（2）求|AB|的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用条件双曲线的顶点是椭圆的焦点，可以假双曲线的方程为，再结合条件OA⊥OB，可求双曲线的标准方程；（2）求|AB|的长度，利用两点间的距离公式求解．
解答：解：（1）椭圆的焦点为（0，±1），依题意设双曲线的方程为，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，∴15x₁x₂=9y₁y₂-18（y₁+y₂）+36，
∴
由 OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴4y₁y₂-3（y₁+y₂）+6=0…①
由，∴（15b²-9）y²+36y-（15b²+36）=0…②
∴，代入①中得b²=3∴双曲线的方程为
（2）将b²=3代入②式中，得4y²+4y-9=0，
∴=
点评：本题（1）问利用直线与曲线联立方程组，采用设而不求的方法，关键是设点；（2）问则在（1）问得基础上借助于两点间的距离公式求解．属于中档题．