Question

一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为

2

，二面角D-AC-B的余弦值为

1

3

，则下列论断正确的是（　　）

• A、空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π
• B、空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π
• C、空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为3

  3

  π
• D、不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上

Answer 1

分析：由题意，求出BD的长，然后判断空间四边形ABCD的四个顶点是否在同一球面上，求出球的表面积即可．

解答：解：如图AC=AB=AD=BC=CD=

2

，cos∠DEB=

1

3

，
E为AC的中点，EB=ED=

6

2

，
所以BD²=2BE²-2×

1

3

×BE2
BD=

2

ABCD的几何体为正四面体，有外接球，球的半径为：

3

2

球的表面积为：3π
故选A

点评：本题是基础题，考查二面角的求法，几何体的外接球的判断，以及外接球的表面积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力，是好题．