Question

已知函数f(x)=

lnx

x

-1
（1）试判断函数f（x）的单调性；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）试证明：对?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）
由已知f′(x)=

1-lnx

x2

令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵当0＜x＜e时，f′(x)=

1-lnx

x2

＞0，
当x＞e时，f′(x)=

1-lnx

x2

＜0
∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，

（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减
故①当0＜2m≤e即0＜m≤

e

2

时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴f(x)max=f(2m)=

ln(2m)

2m

-1，
②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴f(x)max=f(m)=

lnm

m

-1，
③当m＜e＜2m，即

e

2

＜m＜e时
∴f(x)max=f(e)=

1

e

-1．

（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f(x)max=f(e)=

1

e

-1，
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，
即

lnx

x

≤

1

e

且当x=e时“=”成立，
∴对?x∈（0，+∞）恒有lnx≤

1

e

x，
∵

1+n

n

＞0，

1+n

n

≠e，
∴ln

1+n

n

＜

1

e

•

1+n

n

?ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

即对?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

恒成立．