题目内容
已知数列{an}满足a1=
，an+1=
，
（Ⅰ）计算出a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}通项公式an，并用数学归纳法进行证明．
| 3 |
| 5 |
| an |
| 2an+1 |
（Ⅰ）计算出a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}通项公式an，并用数学归纳法进行证明．
（Ⅰ）∵a1=
，an+1=
，
∴a2=
=
，a3=
，a4=
-------------------------（3分）；
（Ⅱ）由（I）知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列
∴猜想数列{an}通项公式：an=
---------------------（5分）
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由题意可知a1=
，命题成立．------（6分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时命题成立，即ak=
，----（7分）
那么，当n=k+1时，ak+1=
=
=
=
也就说，当n=k+1时命题也成立----------------------------------------------（12分）
综上所述，数列{an}的通项公式为an=
---------------------------（13分）
| 3 |
| 5 |
| an |
| 2an+1 |
∴a2=
| a1 |
| 2a1+1 |
| 3 |
| 11 |
| 3 |
| 17 |
| 3 |
| 23 |
（Ⅱ）由（I）知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列
∴猜想数列{an}通项公式：an=
| 3 |
| 6n-1 |
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由题意可知a1=
| 3 |
| 5 |
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时命题成立，即ak=
| 3 |
| 6k-1 |
那么，当n=k+1时，ak+1=
| ak |
| 2ak+1 |
| ||
2×
|
| 3 |
| 6k+5 |
| 3 |
| 6(k+1)-1 |
也就说，当n=k+1时命题也成立----------------------------------------------（12分）
综上所述，数列{an}的通项公式为an=
| 3 |
| 6n-1 |
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