Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₁=1，3S_n=（n+2）a_n．
（1）求a₂，a₃的值；  
（2）求数列{a_n}的通项公式； 
（3）求的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用递推式分别令n=2，3即可得出；
（2）当n≥2时，由3Sn=（n+2）a_n，3S_n-1=（n+1）a_n-1，两式相减得．再利用“累乘求积”…•即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可得出．
解答：解：（1）当n=2时，3S₂=4a₂，∴3（a₁+a₂）=4a₂，化为a₂=3a₁=3．
当n=3时，得3S₃=5a₃，∴3（a₁+a₂+a₃）=5a₃，代入得3（1+3+a₃）=5a₃，解得a₃=6．
（2）当n≥2时，由3Sn=（n+2）a_n，3S_n-1=（n+1）a_n-1，两式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
化为．
∴…•=…•=．
（3）由（2）可得：=．
∴=…+
=．
点评：正确理解递推式的意义，熟练掌握“累乘求积”、“裂项求和”方法等是解题的关键．