Question

单调递增数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2Sn=

a

2 n

+n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足a_n+1+log₃b_n=log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由2Sn=

a

2 n

+n，可求a₁，当n≥2，2Sn=

a

2 n

+n，2S_n-1=an-12+n-1两式相减可得，结合数列{a_n}单调递增可得数列的项之间的递推公式，结合等差数列的通项公式即可求解
（2）由a_n+1+log₃b_n=log₃a_n，可求b_n，利用错位相减求和即可

解答：解：（1）∵2Sn=

a

2 n

+n，
∴n=1时2S1=a12+1
∴a₁=1
当n≥2，2Sn=

a

2 n

+n，2S_n-1=an-12+n-1
两式相减可得，2S_n-2S_n-1=an2-an-12+1
即2an=an2-an-12+1
∴(an-1)2=an-12
∵数列{a_n}单调递增
∴a_n＞a_n-1
∴a_n-a_n-1=1即数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列
∴a_n=1+1×（n-1）=n
（2）∵a_n+1+log₃b_n=log₃a_n，
∴n+1+log₃b_n=log₃n即
∴b_n=

n

3n+1

∴Tn=1•

1

32

+2•

1

33

+…+n•

1

3n+1

1

3

Tn=1•

1

33

+2•

1

34

+…+(n-1)•

1

3n+1

+n•

1

3n+2

两式相减可得，

2

3

Tn=

1

32

+

1

33

+…+

1

3n+1

-n•

1

3n+2

=

1 32 (1- 1 3n )

1- 1 3

-n•

1

3n+2

∴T_n=

1

4

(1-

1

3n

)-

n

3n+2

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式，数列的错位相减求和方法的应用是求和的重点，要注意掌握