Question

（2010•通州区一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），且a1=

1

2

．
（I）求a₂与a₃；
（II）求证：数列{

n+1

n

Sn}是等差数列；
（III）试比较a₁+2a₂+3a₃+…+na_n与2ⁿ⁺¹-n-2的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），n分别取2，3代入，结合a1=

1

2

，可求a₂与a₃的值；         
（II）由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），结合条件可得

n+1

n

Sn  - 

n

n-1

Sn-1=1，结论得证．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

n+1

n

Sn=1+(n-1)•1=n，Sn=

n2

n+1

，根据S_n=n²a_n-n（n-1），可得

n2

n+1

=n²a_n-n（n-1），从而有nan=(n+1)-

1

n+1

-1，利用 2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+…+C_nⁿ≥1+n，得

1

n+1

≥ 

1

2n

，从而有nan=(n+1)-

1

n+1

-1≤2n-

1

2n

-1，故a₁+2a₂+3a₃+…+na_n≤(2-

1

2

-1)+(2 2-

1

2 2

-1)+…+(2 n-

1

2 n

-1)，利用分组求和即可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），
∴S₂=4a₂-2=a₁+a₂，S₃=9a₃-6=a₁+a₂+a₃，
∵a1=

1

2

，
∴a2=

5

6

，a3=

11

12

．                                                     
（Ⅱ）证明：由 a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），及 S_n=n²a_n-n（n-1）得 
S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即  （n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴

n+1

n

Sn  - 

n

n-1

Sn-1=1，
∵a1=

1

2

，∴n=1时，

n+1

n

Sn=1
∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

n+1

n

Sn=1+(n-1)•1=n，
∴Sn=

n2

n+1

，
又已知S_n=n²a_n-n（n-1），
∴

n2

n+1

=n²a_n-n（n-1），
∴nan=

n

n+1

+n-1=(n+1)-

1

n+1

-1．                                       
∵2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ≥1+n，
∴

1

n+1

≥ 

1

2n

，
∴-

1

n+1

≤-

1

2n

，
∴nan=(n+1)-

1

n+1

-1≤2n-

1

2n

-1
∴a₁+2a₂+3a₃+…+na_n≤(2-

1

2

-1)+(2 2-

1

2 2

-1)+…+(2 n-

1

2 n

-1)
=(2+22+…+2n)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)-n
=

2(1-2n)

1-2

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n
=2n+1-2+

1

2n

-1-n
∵当n∈N^*时，

1

2n

＜1，即

1

2n

-1＜0，
∴2n+1-2+

1

2n

-1-n＜2ⁿ⁺¹-n-2．
即a₁+2a₂+3a₃+…+na_n＜2ⁿ⁺¹-n-2

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列递推式的运用，考查等差数列的定义，考查放缩法，解题的关键是合理运用数列递推式．