Question

已知函数f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)，g(x)=

1

2

sin2x-

1

4

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，求函数h（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用两角和差的余弦公式和二倍角公式，将函数f（x）化为y=Acos（ωx+φ）型函数，再利用周期计算公式得函数的最小正周期；
（2）先利用两角和的余弦公式将函数h（x）化为y=Acos（ωx+φ）型函数，再将内层函数看作整体放到余弦曲线的增区间上，即可解得函数的单调增区间；
（3）先求内层函数的值域，再利用余弦函数的图象和性质求整个函数的值域，从而得其最值

解答：解：（1）f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)=(

1

2

cosx-

3

2

sinx)(

1

2

cosx+

3

2

sinx)
=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，
所以周期T=

2π

2

=π
（2）h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

cos(2x+

π

4

)，
由2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，得kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，k∈Z
∴函数h（x）=f（x）-g（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

](k∈Z)
（3）由（2）知h(x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)，
当x∈[0，

π

2

]时，

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴当2x+

π

4

=

π

4

，即x=0时，h(x)max=

1

2

，
当2x+

π

4

=π，即x=

3π

8

时，h(x)min=-

2

2

∴函数h（x）的最大值与最小值分别为

1

2

，-

2

2

点评：本题主要考查了三角变换公式的运用，y=Acos（ωx+φ）型函数的图象和性质，整体代换的思想方法