题目内容

求证f（x）=x+数学公式的（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．

证明：f′（x）=1-
当x∈（0，1]时，≥1，故1-≤0，故函数f（x）=x+的（0，1]上是减函数．
当x∈[1，+∞）时，≤1，故1-≥0，故函数f（x）=x+的（0，1]上是增函数．
由上证，f（x）=x+的（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数
分析：本题是一个证明题，可用导数法证明，先求出f（x）=x+的导数，判断导数的值在两个区间上的符号，若符号为正，此函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上为减函数．
点评：本题的考点是函数单调性的判断与证明，本题采取了用导数法来证明函数单调性，其对应关系是若导数在某个区间上函数值恒大于等于0，则这个区间是这个函数的增区间，若数在某个区间上函数值恒小于等于0，则这个区间是这个函数的减区间．
练习册系列答案
相关题目
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0和2，且f(-2)＜-
1
2
．
（1）求实数b，c的值；
（2）已知各项不为零的数列{an}的前n项之和为Sn，并且4Sn•f(
1
an
)=1，求数列{an}的通项公式；
（3）求证：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an．
（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0和2，且f(-2)＜-
1
2
．
（1）求实数b，c的值；
（2）已知各项不为零的数列{an}的前n项之和为Sn，并且4Sn•f(
1
an
)=1，求数列{an}的通项公式；
（3）求证：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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