Question

已知函数f（x）=ax²-2x+1，（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）解关于x的方程f（x）=0；
（3）当a≥1时，f（x）在[2，4]上的最小值为5，求a的值．

Answer 1

分析：（1）①当a=0时，函数f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上为减函数，当a≠0时，结合二次函数的性质，需要讨论a＞0，a＜0分别进行求解
（2）方程f（x）=0，需要考虑二次项系数a=0是否为0，当a=0时，解一次方程即可求解，当a≠0时，通过讨论△=4-4a①若△＜0，②若△=0，③若△＞0分别求解
（3）当a≥1时，函数f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为x=

1

a

∈(0，1]，结合二次函数f（x）在区间[2，4]上的单调性可求最小值，从而可求a

解答：解：（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上为减函数；…（1分）
当a＞0时，函数f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为x=

1

a

∴函数f（x）在(-∞，

1

a

]上为减函数，在[

1

a

，+∞)上为增函数        …（3分）
当a＜0，函数f（x）=ax²-2x+1开口向下，对称轴为x=

1

a

∴函数f（x）在(-∞，

1

a

]上为增函数，在[

1

a

，+∞)上为减函数      …（5分）
（2）方程f（x）=ax²-2x+1=0，
当a=0时，方程-2x+1=0有1个实根x=

1

2

，…（6分）
当a≠0时，△=4-4a…（7分）
①若△＜0，即a＞1时，方程ax²-2x+1=0没有实根      …（8分）
②若△=0，即a=1时，方程ax²-2x+1=0有1个实根x=1…（9分）
③若△＞0，即a＜1，且a≠0时，方程ax²-2x+1=0有2个实根x=

1± 1-a

a

…（10分）
综上：当a＞1时，方程f（x）=0没有实根
当a=0时，方程f（x）=0有1个实根x=

1

2

当a=1时，方程f（x）=0有1个实根x=1
当a＜1，且a≠0时，方程f（x）=0有2个实根x=

1± 1-a

a

…（11分）
（3）当a≥1时，函数f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为x=

1

a

∈(0，1]
∴f（x）在区间[2，4]上为增函数                            …（12分）
∴f（x）_min=f（2）=4a-3=5，得a=2…（14分）

点评：本题主要考查了二次函数性质的应用，二次函数与二次方程之间的相互转化，及含有参数的二次方程的求解，体现了分类讨论思想的应用．