Question

【题目】设圆的圆心为，直线过点且不与轴、轴垂直，且与圆于， 两点，过作的平行线交直线于点.

（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求与的面积之和的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】试题分析：（1）先证明，可得， ，进而得，由双曲线定义知轨迹是双曲线，从而可得方程；（2）联立直线与双曲线的方程，消去得，根据弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式可得三角形面积之和成关于 的函数，利用单调心求解即可.

试题解析：（1）

圆，圆心，半径，如图所示.

因为，所以.又因为，所以，

所以，

又因为，所以，

故，可得，

根据双曲线的定义，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线（顶点除外），

易得点的轨迹方程为.

（2）.

依题意可设，

由于，设.

圆心到直线的距离，

所以，

又因为，解得.

联立直线与双曲线的方程，消去得，

则，

所以，

记的面积分别为，

则，

又因为，所以，

所以的取值范围为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用单调性法法求三角形三角形面积之和的最值的.