题目内容

若函数y=f（x）的图象与y=ln（x-1）+1（x＞1）的图象关于直线y=x对称，且f（1）=a+b（a，b都是正实数），则 $数学公式$ 的最小值是

A.
2
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：由题意可得，f（x）为已知函数的反函数，从而可求a+b，而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）（a+b）= $\text{[math]}$ ，利用基本不等式可求
解答：∵y=f（x）的图象与y=ln（x-1）+1（x＞1）的图象关于直线y=x对称
∴f（x）=e^x-1+1
∴f（1）=2=a+b，a＞0，b＞0
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）（a+b）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ 当且仅当 $\text{[math]}$ 即b= $\text{[math]}$ 时取等号
故 $\text{[math]}$ 的最小值（ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$
故选D
点评：本题主要考察了互为反函数的函数的图象关系，基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是基本不等式条件的配凑

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