Question

已知a是实数，函数f(x)=ax2+2x-3-a+

4

a

．求函数y=f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：由a≠0得y=f（x）为二次函数，对称轴不固定，而区间固定，须分轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间三种情况讨论．

解答：解：由a≠0可知，二次函数f(x)=ax2+2x-3-a+

4

a

=a(x2+

2

a

x+

4

a2

)-

4

a

-3-a+

4

a

=a(x+

2

a

)2-3-a（3分）
所以（1）当-

2

a

＜0，即a＞0时，函数y=f（x）在区间[0，1]上是单调递增函数，
所以函数的最小值是f（0）=

4

a

-a-3（5分）
（2）当-

2

a

＞1，即-1＜a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，
所以函数的最小值是f（1）=

4

a

-1（8分）
（3）当0＜-

2

a

≤1，即a≤-1时，函数y=f（x）在区间[0，1]上的最小值是f（

2

a

）=-a-3（10分）

点评：本题的实质是求二次函数的最值问题，关于解析式含参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论．