Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x，a∈R．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣1时，f（x）=ln（x﹣1）﹣x，x＞1，

f′（x）= ﹣1= ，

当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增，

当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）递减，

故f（x）在（1，2）递增，在（2，+∞）递减

（2）解：由题意得：x≥1时，x+a＞0恒成立，故a＞﹣1，①，

不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，

即 x2+ ﹣1＞0对任意的x≥1恒成立，

设g（x）= x2+ ﹣1，x≥1，

g′（x）= ，

a≤0时，g（2）=a（2+ ）﹣1+ ＜0，不合题意，

a＞0时，要使x≥1时，不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，

只需g（1）=a（ + ）﹣1+ ＞0，即a＞ ，

a＞ 时，aexx﹣x+1﹣a=a（exx﹣1）+1﹣x＞ （exx﹣1）+1﹣x，

设h（x）= （exx﹣1）+1﹣x，x≥1，

h′（x）= exx+ ex﹣1，x≥1，

显然h′（x）在（1，+∞）递增，∴h′（x）＞h′（1）= ＞0，

∴h（x）在（1，+∞）递增，h（x）＞h（1）= ＞0，

即aexx﹣x+1﹣a＞0，②，

由①②得：a＞ 时，满足题意

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 x2+ ﹣1＞0对任意的x≥1恒成立，设g（x）= x2+ ﹣1，x≥1，通过求导得到g（x）的单调性，从而求出a的范围即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．