Question

已知函数．
（Ⅰ）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3．若点（a_n，a_n+1²﹣2a_n+1）
（n∈N*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，S_n）也在y=f′（x）的图象上；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（a﹣1，A）内的极值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为，所以f′（x）=x²+2x，
由点（a_n，a_n+1²﹣2a_n+1）（n∈N+）在函数y=f′（x）的图象上，
又a_n＞0（n∈N+），所以（a_n﹣1﹣a_n）（a_n+1﹣a_n﹣2）=0，
所以，
又因为f′（n）=n²+2n，所以S_n=f'（n），
故点（n，S_n）也在函数y=f′（x）的图象上．
（Ⅱ）解：f'（x）=x²+2x=x（x+2），
由f'（x）=0，得x=0或x=﹣2．
当x变化时，f'（x）﹑f（x）的变化情况如下表：

注意到|（a﹣1）﹣a|=1＜2，
从而
①当，此时f（x）无极小值；
②当a﹣1＜0＜a，即0＜a＜1时，f（x）的极小值为f（0）=﹣2，此时f（x）无极大值；
③当a≤﹣2或﹣1≤a≤0或a≥1时，f（x）既无极大值又无极小值．