Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，Q是PA上一点，且PA=4PQ=4，四边形ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分别为PD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角M-CN-P的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A为原点，射线AD、AB、AP分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点，进一步可表示向量

BC

=(

2

，-1，0)，

PB

=(0，2，-4)，

MQ

=(-

2

2

，0，1)，求出平面PBC的法向量

m

= (

2

，2，1)，可得

MQ

•

m

= 0，从而可证MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求出平面MCN的法向量为

n

= (

2

，1，1)，平面PNC的法向量为

m

= (

2

，2，1)，利用cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

，可取二面角M-CN-P的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：以A为原点，射线AD、AB、AP分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，2，0），C（

2

，1，0），D（

2

，0，0），P（0，0，4），Q（0，0，3），M（

2

2

，0，2），N（0，1，2）
∴

BC

=(

2

，-1，0)，

PB

=(0，2，-4)，

MQ

=(-

2

2

，0，1)
设平面PBC的法向量

m

= (x，y，z)，则

m • BC =0 m • PB =0

，
∴

2 x-y=0 y-2z=0

，可取

m

= (

2

，2，1)
∴

MQ

•

m

= 0
∵MQ?平面pPCB
∴MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）解：设平面MCN的法向量为

n

= (x′，y′，z′)
∵

CM

=(-

2

2

，-1，2) ，

CN

=(-

2

，0，2)
∴

n • CM =0 n • CN =0

，∴

- 2 2 x′-y′+2z′=0 - 2 x′+2z′=0

，可取

n

= (

2

，1，1)
又平面PNC的法向量为

m

= (

2

，2，1)
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

5 7

14

∴二面角M-CN-P的余弦值为

5 7

14

．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法解决立体几何问题，属于中档题．