Question

（2013•房山区一模）已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=cos2x+

3

sin2x，结合正弦函数的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）根据x∈[0，

π

2

]，得到2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，由此结合正弦函数图象在区间[

π

6

，

7π

6

]上的单调性，即可得到f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵cos²x=

1

2

（1+cos2x），sinxcosx=

1

2

sin2x，
∴f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1
=（1+cos2x）+

3

sin2x-1=cos2x+

3

sin2x…（4分）
=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)=2sin(2x+

π

6

)…（6分）
因此，函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

…（9分）
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，可得-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2
当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，sin(2x+

π

6

)=1，此时函数f（x）的最大值为2．…（11分）
当2x+

π

6

=

7π

6

时，即x=

π

2

时，sin(2x+

π

6

)=-

1

2

，此时函数f（x）的最大值为-1．…（13分）
综上所述，函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值为f（

π

2

）=-1，最大值为f（

π

6

）=2．

点评：本题给出三角函数式，求函数的周期并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．