Question

（本小题满分12分）已知函数．

（1）当时，证明函数只有一个零点；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

Answer 1

（本小题满分12分）

       解：（Ⅰ）当时，，其定义域是………1分

       ∴                     ………………………2分    

      令，即，解得或．

      ，∴  舍去．                            …………………3分

       当时，；当时，．

       ∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

      ∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．

       当时，，即．

      ∴ 函数只有一个零点．                      ………………………6分

       （Ⅱ）显然函数的定义域为

       ∴ ……………7分

       ①当时，在区间

       上为增函数，不合题意………9分

       ②当时，等价于，即

       此时的单调递减区间为．

       依题意，得解之得．                       …………………9分

       当时，等价于，即

       此时的单调递减区间为，

       ∴     得                ………………………11分

       综上，实数的取值范围是

                   ………………………12分

       法二：

       ①当时，

       在区间上为增函数，不合题意……………7分

       ②当时，要使函数在区间上是减函数，

       只需在区间上恒成立，只要恒成立，

       解得或                  ………………………11分

       综上，实数的取值范围是

                  ………………………12分