Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A=

π

6

，a=2；设内角B=x，△ABC的面积为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）设△ABC的外接圆的半径为R，则可利用正弦定理求得R，再根据正弦定理表示出b，c后利用三角形面积公式表示出函数的解析式，根据角A的范围求出函数的定义域．
（2）先根据两角和与差的正弦公式对函数f（x）进行展开，再由二倍角该公式和两角和与差的公式进行化简，根据函数f（x）的定义域和正弦函数的性质可求得值域．

解答：解：（1）设△ABC的外接圆的半径为R，则2R=

2

sin π 6

=4，∴R=2．
则y=f(x)=

1

2

bcsinA=

1

4

×2RsinB×2RsinC=4sinxsin(

5π

6

-x)，
定义域为{x|0＜x＜

5π

6

}．
（2）∵f(x)=4sinxsin(

5π

6

-x)=4sinx(

1

2

cosx+

3

2

sinx)=2sinxcosx+2

3

sin2x=sin2x+

3

-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+

3

而0＜x＜

5π

6

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

4π

3

．
则-

3

2

＜sin(2x-

π

3

)≤1，
故函数y=f（x）的值域为(0，2+

3

]．

点评：本题主要考查正弦定理、二倍角公式和两角和与差的公式的应用，考查基础知识的综合应用和对公式的掌握情况，三角函数的公式比较多，一定要加强记忆．