Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁=2，当n≥2时，S_n=3a_n-2，则数列{2^n-1a_n}的前n项和T_n=2•3^n-1．

Answer 1

分析 运用数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的通项和求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：当n≥2时，S_n=3a_n-2，
可得S_n-1=3a_n-1-2，
两式相减可得，a_n=3a_n-3a_n-1，
即有a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2，
当n=2时，有a₁+a₂=3a₂-2，得a₂=2，
当n=3时，a₁+a₂+a₃=3a₃-2，得a₃=3，
该数列从第2项起为公比q=$\frac{3}{2}$的等比数列，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2•（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
前n项和T_n=2+2•2+4•3+…+4•3^n-2
=2+4•$\frac{1-{3}^{n-1}}{1-3}$
=2•3^n-1．
故答案为：2•3^n-1．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项和求和公式的运用，属于中档题．