Question

已知等比数列{a_n}满足a₁+a₆=11，且a₃a₄=

32

9

．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）如果至少存在一个自然数m，恰使

2

3

am-1，am2，a_m+1+

4

9

这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{a_n}是否存在？若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）、根据等比数列的通项公式，把已知条件化为a₁，q；建立方程解之即可；
（2）、根据（1）中的通项公式，再根据恰使

2

3

am-1，am2，a_m+1+

4

9

这三个数依次成等差数列，分类建立方程，解之即可，注意取舍．

解答：解：（1）由题意得

a1 +a1q5=11 a1q2•a1q3= 32 9

，则

a1 = 32 3 q = 1 2

或

a1 = 1 3 q =2

∴a_n=

32

3

• (

1

2

)n-1=

1

3

•26-n或a_n=

1

3

•2n-1．
（2）对a_n=

1

3

•2n-1，若存在题设要求的m，则
2•（

1

3

•2^m-1_）2=

2

3

•

1

3

•2^m-2+

1

3

•2^m+

4

9

．
∴（2^m）²-7•2^m+8=0．
∴2^m=8，m=3．
对a_n=

1

3

•26-n，若存在题设要求的m，同理有（2^6-m）²-11•2^6-m-8=0．
而△=11²+16×8不是完全平方数，故此时所需的m不存在．
综上所述，满足条件的等比数列存在，且有a_n=

1

3

•2^n-1．

点评：本题考查了等比数列和等差数列，用到等比数列通项公式，等差中项，以及解方程．还有分类讨论的数学思想．