Question

已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）． 

（Ⅰ）求的通项公式；  （Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为T_n .

求证：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）． （III）证明：见解析。

【解析】 (1)由，可求出，找到与的关系，就可得到的通项

公式；（2）由（1）可得到数列为等比数列，利用可求出；

（3）把代入（1）得，所以，分离常数整理得

.先放缩，右边裂项求和得

结论得证.

（Ⅰ）∴

当时，

，即是等比数列． ∴；         ……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，

 则有而

故，解得，  ………………7分

再将代入得成立，

所以．……………………………8分

（III）证明：由（Ⅱ）知，所以

，  …………………… 9分

由得

所以，       …………………… 12分

从而

．

即．